15. Nghĩ được cách giải, học sinh có thể vui mừng và chủ quan, không kiểm soát được mình viết đúng hay viết sai, không cẩn thận trong việc viết kết quả. Học sinh không có cơ hội gặp giám khảo để giải thích suy nghĩ của mình. Khi đi thi, các em không thể bằng lòng sớm Toán thông minh. Chia sẻ những phương pháp học toán thông minh, phương pháp tính nhẩm nhanh, các mẹo toán học đặc biệt. Đây là một trong những nội dung kiến thức mới, đặc biệt, có thể bạn/con em bạn chưa từng được học ở trường học. Chúng đặc biệt thú vị. Từ NHỮNG LỖI SAI THƯỜNG GẶP KHI VIẾT BÀI VĂN NGHỊ LUẬN XÃ HỘI Nghị luận xã hội là phần kiến thức quan trọng có liên quan đến kì thi tuyển sinh vào lớp 10 và kì thi THPT quốc gia. Những sai lầm thường gặp khiến tóc nhuộm dễ bay màu và hư tổn. Khi nhuộm tóc, các biểu bì phải mở ra rồi đóng lại để tiếp nhận các sắc tố, điều này theo thời gian làm tóc yếu đi. Tóc nhuộm đặc biệt là tóc tẩy dễ mất màu, hư tổn nếu không biết chăm sóc đúng Một số sai lầm thường gặp khi giải toán và cách sửa (p5) Hôm nay mình cho các cháu lớp 12 làm một bài "dễ như ăn kẹo" dưới đây, thế mà hầu hết "chúng nó" lại mắc sai lầm mới lạ chứ. Đề bài Lời giải của "bọn chúng" Hồn nhiên Sai ở đâu? Tại sao mắc sai lầm? Sửa như thế nào? Bình luận 1. Đề bài Cho hàm số có đồ thị Với một hay nhiều file Word có nhiều công thức toán học với những kiểu font chữ khác nhau, việc hiệu chỉnh cho về cùng một kiểu Font và kích thước một cách thủ công sẽ làm bạn tốn rất nhiều thời gian và hiệu quả cũng không cao. MỘT SỐ SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI sAo40t. Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn khoa học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện môn Toán ở trường phổ thông, Đại số tổ hợp là nội dung không thể thiếu và đã được đưa vào trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Đại số tổ hợp không những trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tính logic, chặt chẽ và chính xác mà còn là một trong những kiến thức được đưa vào thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, là nền móng để xây dựng toán xác suất trong chương trình THPT cũng như đại học. Đây thật sự là phần rất hay và phù hợp để ra dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia hiện nayHơn nữa bài tập phần Đại số Tổ hợp mang tính phân loại học sinh, không đòi hỏi nhiều kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Toán là dạy kiến thức, tư duy, tính cách do đó khi dạy Đại số tổ hợp, ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh còn phải tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tìm ra những sai lầm trong giải toán, mở rộng bài toán mới để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán, cũng như trong cuộc khác rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp còn góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán .Với những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học toán Đại số tổ Bạn đang xem tài liệu "SKKN Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trên 1. MỞ ĐẦU Lí do chọn đề tài Toán học là môn khoa học cơ bản, là công cụ để học tập và nghiên cứu các môn khoa học khác. Toán học có vai trò to lớn trong sự phát triển của các ngành khoa học kĩ thuật, liên quan chặt chẽ và có ứng dụng rộng rãi trong nhiều lĩnh vực khoa học, công nghệ, kĩ thuật và đời sống. Vì thế, việc nâng cao chất lượng dạy học nói chung , chất lượng dạy học môn Toán nói riêng đang là yêu cầu cấp bách đối với ngành giáo dục nước ta hiện nay. Trong môn Toán ở trường phổ thông, Đại số tổ hợp là nội dung không thể thiếu và đã được đưa vào trong chương trình Đại số và Giải tích lớp 11. Đại số tổ hợp không những trang bị cho học sinh khả năng suy luận cao, tính logic, chặt chẽ và chính xác mà còn là một trong những kiến thức được đưa vào thi THPT Quốc gia, thi học sinh giỏi, là nền móng để xây dựng toán xác suất trong chương trình THPT cũng như đại học... Đây thật sự là phần rất hay và phù hợp để ra dưới dạng các câu hỏi trắc nghiệm trong kì thi THPT quốc gia hiện nay Hơn nữa bài tập phần Đại số Tổ hợp mang tính phân loại học sinh, không đòi hỏi nhiều kiến thức, nhưng yêu cầu sự quan sát tinh tế, tư duy sáng tạo. Dạy Toán là dạy kiến thức, tư duy, tính cách do đó khi dạy Đại số tổ hợp, ngoài việc đưa ra kiến thức và phương pháp giải học sinh còn phải tìm tòi nhiều cách giải khác nhau, tìm ra những sai lầm trong giải toán, mở rộng bài toán mới để giúp học sinh phát triển kĩ năng, tư duy, sáng tạo và vận dụng một cách linh hoạt, sáng tạo nhất, thông minh nhất trong việc học toán, cũng như trong cuộc sống. Mặt khác rèn luyện kỹ năng giải Toán Tổ hợp còn góp phần vào việc đổi mới phương pháp dạy học theo quan điểm "lấy học sinh làm trung tâm". Theo đó thầy chỉ đóng vai trò là người hướng dẫn để học sinh tự tìm tòi phát hiện ra kết quả, phát hiện ra mâu thuẫn và sai lầm trong quá trình giải quyết một bài toán . Với những lí do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài “Khắc phục một số sai lầm thường gặp cho học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp”. Trong sáng kiến kinh nghiệm này rất mong được sự ủng hộ và góp ý nhiệt thành của quý đồng nghiệp, nhằm biến nó thành một công cụ đích thực cho việc dạy và học toán Đại số tổ hợp. Mục đích nghiên cứu - Đối với giáo viên Trên cơ sở lí luận phương pháp dạy học, đề tài đi sâu đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm của học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp. - Đối với học sinh Thông qua các con đường, biện pháp phát triển tính tích cực, độc lập trong nhận thức, đặc biệt tư duy giúp các em khắc phục, tránh một số nhầm lẫn đáng tiếc khi giải bài tập phần Đại số tổ hợp. Từ đó kích thích hứng thú học tập, khơi dậy xúc cảm đối với bộ môn. Đối tượng nghiên cứu - Tìm hiểu lí luận dạy học nói chung, dạy học phần Đại số Tổ hợp nói riêng để làm rõ nội hàm các khái niệm. - Nghiên cứu chương trình sách giáo khoa Đại số lớp 11 phần Đại số tổ hợp. - Đề xuất một số biện pháp nhằm khắc phục sai lầm thường gặp của học sinh THPT khi giải toán Đại số tổ hợp. Phương pháp nghiên cứu - Về lí thuyết Đề tài sử dụng nhiều phương pháp khác nhau, trong đó chủ yếu là + Phương pháp nghiên cứu tổng hợp để tiếp cận nghiên cứu, đi sâu vào các vấn đề về lí luận dạy học nói chung, dạy phần Đại số tổ hợp nói riêng để lí giải rõ từng khái niệm, từng bài toán được đề cập đến trong đề tài. + Phương pháp so sánh để tìm ra những nét chung và những nét nổi trội khi vận dụng các biện pháp nhằm khắc phục sai lầm học sinh khi giải Toán Đại số tổ hợp. - Về thực tiễn + Dự giờ đồng nghiệp dạy cùng khối 11 chương trình ban nâng cao. + Thực nghiệm sư phạm thực nghiệm đề tài vào giảng dạy nội dung phần Đại số tổ hợp do bản thân trực tiếp đứng lớp ở trường Trung học phổ thông Vĩnh Lộc. + Sử dụng phương pháp thống kê toán học trên cơ sở so sánh các giá trị thu được giữa lớp thực nghiệm và lớp đối chứng để đánh giá hiệu quả của những biện pháp dạy học mà đề tài đưa ra. + Trong quá trình giảng dạy giáo viên dự đoán, tổng hợp được các sai lầm của học sinh thường mắc phải thông qua các bài toán đã được phân theo dạng, phân tích chỉ rõ nguyên nhân dẫn đến sai lầm từ đó lựa chọn phương án giải phù hợp nhất. Cuối cùng trình bày lại thông qua các ví dụ cụ thể. 2. NỘI DUNG SÁNG KIẾN Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm Định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp và công thức tính số chỉnh hợp, tổ hợp. Căn cứ vào yêu cầu và mục tiêu của hệ thống giáo dục bậc THPT. Căn cứ vào tình hình học tập của học sinh khối 11 hệ THPT trong việc học tập bộ môn đại số và giải tích. Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm Qua quá trình theo dõi học tập của học sinh và từ các kết quả của các kì thi gần đây. Tôi nhận thấy học sinh rất yếu kém về loại bài tập này. Sự yếu kém đó thể hiện ở nhiều khía cạnh. Một là Học sinh có thể đưa ra được kết quả đúng nhưng lời giải sai về mặt lập luận và logíc. Hai là Khi gặp bài toán có sự lựa chọn một số ít trong nhiều thì học sinh thường lúng túng trong việc chọn chỉnh hợp hay tổ hợp, mà đã có sự lựa chọn công thức thì phải biết đối với bài toán nào sử dụng công thức này, bài toán nào sử dụng công thức kia. Và không thể thiếu một phương pháp giải mang lại tính ưu việt là sử dụng bài toán gián tiếp vậy khi đó sai lầm mắc phải là gì? Ba là Khi gặp bài toán về thành lập số đặc biệt có mặt chữ số 0 thì đa phần học sinh rất lúng túng vì vị trí nó không thể nằm ở số hạng đầu nên việc chọn cách giải sẽ rất khó khăn. Bốn là Một số bài toán tương tự nhau về mặt hình thức nhưng chỉ thay đổi về bố cục lại không thể áp dụng cho bài toán trước được nên vấn đề nắm vững phương pháp giải từng dạng bài toán là vấn đề nan giải. Đề tài này chủ yếu khắc phục một số sai lầm thường mắc phải của học sinh khi giải toán Đại số tổ hợp bằng cách giúp các em nắm vững hai khái niệm chỉnh hợp, tổ hợp và phân biệt sự giống nhau và khác nhau giữa hai khái niệm này. Thông qua các ví dụ trình bày cách giải sai để các em tránh được hiểu các khái niệm trên một cách hình thức. Việc trình bày lời giải đúng để giúp các em biết áp dụng định nghĩa vào giải quyết bài tập một cách chính xác. Phần cuối tôi có một số bài toán áp dụng để các em rèn luyện và qua bài kiểm tra kì đánh giá được sự hiểu biết của các em, từ đó có kế hoạch bổ sung. Đề tài đã được thực hiện qua nhiều khóa học và có kết quả tốt, giúp các em nâng cao được kỹ năng giải quyết bài toán Đại số tổ hợp. Nhưng chắc chắn còn nhiều khiếm khuyết mong các đồng nghiệp giúp đỡ để hoàn chỉnh nhằm giúp học sinh học tập tốt hơn. Cách giải quyết vấn đề Một số sai lầm thường gặp Giáo viên sẽ dự đoán các sai lầm của học sinh từ đó đưa ra các ví dụ, bài tập dưới dạng bài tập tự luận hoặc bài tập trắc nghiệm với các phương án nhiễu là các sai lầm mắc phải, thông qua đó vừa phân tích chỉ ra các lỗi vừa rèn luyện cho các em kĩ năng làm bài. Sau đây tôi xin được trình bày một số ví dụ, trong từng ví dụ phân tích chỉ rõ sai lầm như thế nào dẫn đến lời giải sai, chốt lại lời giải đúng. Sai lầm giữa khái niệm tổ hợp và chỉnh hợp Trước tiên chúng ta cùng nhắc lại định nghĩa chỉnh hợp, tổ hợp và sự khác nhau giữa hai khái niệm này a. Định nghĩa chỉnh hợp Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với khi lấy ra phần tử của và sắp xếp chúng theo một thứ tự ta được một chỉnh hợp chập của phần tử của. b. Định nghĩa tổ hợp Cho một tập hợp có phần tử và một số nguyên với. Mỗi tập con của có phần tử gọi là một tổ hợp chập của phần tử của. c. Phân biệt Cần phân biệt rõ cho học sinh các khái niệm hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp, cụ thể Từ định nghĩa cho một tập A có n phần tử - Mỗi một hoán vị là một bộ xắp xếp tất cả n phần tử của A - Mỗi một chỉnh hợp là một bộ sắp xếp các phần tử của một tập con của tập A. Do đó một hoán vị chập n của tập A là một chỉnh hợp chập n của tập A . Sự giống nhau và khác nhau của chỉnh hợp chập của và tổ hợp chập của - Giống nhau Đều là một tập con gồm phần tử của tập A. - Khác nhau Mỗi một chỉnh hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử có sắp thứ tự, kể cả thứ tự của một tập phần tử Mỗi một tổ hợp chập của phần tử là một tập con gồm phần tử không kể thứ tự của một tập phần tử. Tức là muốn hình thành các chỉnh hợp chập của phần tử ta có thể tiến hành theo 2 bước liên tiếp Bước 1 Tìm tất cả các tổ hợp chập của . Bước 2 Tìm tất cả các hoán vị trong từng tổ hợp. Số chỉnh hợp chập k của n phần tử của A, lớn hơn số tổ hợp chập k của n phần tử của A,. d. Áp dụng Ví dụ 1 Một đội bóng có 11 người trực tiếp thi đấu Kể cả thủ môn.Trong một trận đấu trung kết với 120 phút thi đấu đội phải đá luân lưu để phân thắng bại. Hỏi huấn luyện viên có bao nhiêu cách chọn ra 5 người để thực hiện loạt đá luân lưu? Một học sinh đã giải như sau Chọn 5 người từ 11 người trong đội bóng. Vậy số cách chọn là Học sinh đã giải sai kết quả. Em hãy phân tích sai lầm mà học sinh đã mắc phải trong lời giải trên? Giáo viên hướng dẫn và giúp học sinh chốt lại nguyên nhân sai lầm Khi chọn 5 người từ 11 người để thực hiện loạt đá luân lưu, trong 5 người được chọn cần phải ưu tiên chọn thứ tự đá lần 1, 2, 3, 4, 5. Vậy kết quả phải là hay Qua ví dụ này giúp các em khắc sâu sự khác biệt giữa hai khái niệm đồng thời dẫn dắt học sinh có được lối tư duy sâu khi áp dụng Ví dụ 2 Bài 58 SGK Đại số và giải tích 11- Nâng cao Trong không gian cho tập hợp 9 điểm trong đó không có 4 điểm nào đồng phẳng. Hỏi có thể lập được bao nhiêu tứ diện với các đỉnh thuộc tập đã cho?[8] Sai lầm Cứ 4 đỉnh không đồng phẳng thì lập thành một tứ diện nên số tứ diện lập được từ 4 đỉnh là Nguyên nhân Cách tính này đã lặp 4! lần số tứ diện vì bốn đỉnh của tứ diện không có tính xếp thứ tự chẳng hạn như ABCD và ABDC là một tứ diện. Như vậy sai lầm này do chưa phân biệt rõ tổ hợp, chỉnh hợp hoặc do sai kiến thức hình học Lời giải đúng Cứ 4 điểm không đồng phẳng đã cho thì tạo được một tứ diện. Ngược lại, mỗi một tứ diện có 4 đỉnh thuộc tập đã cho tương ứng với một tập con gồm 4 phần tử của tập đã cho Vì 4 đỉnh của một tứ diện không có tính sắp thứ tự. Do đó số tứ diện lập được từ 9 điểm đã cho là . Ví dụ 3 Trong một hộp có 4 viên bi đỏ, 5 bi trắng và 6 bi vàng. Cần chọn ra 4 viên từ hộp đó. Hỏi có bao nhiêu cách chọn để trong số 4 viên đó không có đủ 3 màu? Sai lầm 1 Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách. Theo quy tắc cộng có cách. Nguyên nhân sai lầm 1 Cách giải trên sai ở chỗ đã tính lặp lại 2 lần số các viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc cùng màu vàng. Sai lầm 2 Số cách chọn 4 viên chỉ có một màu Số cách chọn 4 viên có 2 màu Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách Vậy có + Nguyên nhân sai lầm 2 Cách giải này thay cho việc trừ đi số cách chọn lặp lại 2 lần số viên cùng một màu đỏ hoặc cùng màu trắng hoặc màu vàng thì học sinh lại cộng thêm vào Lời giải đúng Cách 1 Chọn trực tiếp - Số cách chọn 4 bi cùng một màu là - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu đỏ và trắng là ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu trắng và vàng là ++ - Số cách chọn 4 bi chỉ có hai màu vàng và đỏ là ++ Theo quy tắc cộng có cách. Cách 2 Chọn gián tiếp - Số cách chọn tuỳ ý 4 viên là cách. - Tính số cách chọn 4 viên đủ 3 màu + Trong đó 2 đỏ, 1 trắng, 1 vàng l có cách + Trong đó 1 đỏ, 2 trắng, 1 vàng l có cách + Trong đó 1 đỏ, 1 trắng, 2 vàng l có cách - Số cách chọn cần tìm là -++= 645 cách Cách 3 - Số cách chọn 4 viên có 2 màu Số cách chọn 4 viên không có màu trắng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu vàng là cách. Số cách chọn 4 viên không có màu đỏ là cách - Số cách chọn 4 viên chỉ có một màu = 645 Vì trong cách chọn 4 viên 2 màu đã lặp lại 2 lần số bi có cùng 1 màu. Vậy có - = 645 Ví dụ 4 Bài tập toán đại số tổ hợp -TS Nguyễn Văn Nhân Một tổ có 8 học sinh nam, 7 học sinh nữ. Chọn ra 1 nhóm gồm 6 HS sao cho có ít nhất 2 nữ thì có bao nhiêu cách chọn? Lời giải 1 có vẻ “hay” vì rất ngắn gọn và “độc đáo” Bước 1 chọn ra 2 nữ vì có ít nhất 2 nữ có cách Bước 2 Chọn 4 bạn còn lại trong 13 bạn có cách khi đó 6 bạn còn lại trong 13 bạn được chọn luôn thoả mãn có ít nhất 2 nữ. Vậy có . = 15015 cách Lời giải 2 trực tiếp chia cụ thể các trường hợp TH1 2 nữ, 4 nam cách TH2 3 nữ, 3 nam cách TH3 4 nữ, 2 nam cách TH4 5 nữ, 1 nam cách TH5 6 nữ cách Vậy có tất cả + + + + = 4585 cách Lời giải 3 gián tiếp Bước 1 chọn 6 HS bát kì cách Bước 2 chọn 5 HS nam, 1 HS nữ cách Bước 3 chọn 6 HS nam cách Vậy số cách chọn thoã mãn là – + = 4585 cách Nhận xét Hai lời giải 2 và 3 là lời giải đúng đã được phân tích rõ ràng. Lời giải 1 xem có vẻ hợp lý, ngắn gọn,nhưng tại sao đáp án không như lời giải 2 và 3? Vậy sai lầm ở đâu? Phân tích Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự vì chọn liên tiếp Tôi đưa ra sơ đồ minh hoạ cho lời giải 1 Nếu 8 nam có tên lần lượt A, B, C, D, E, F, G, H. 7 nữ có tên lần lượt K, L, M, N, O, P, Q + Giả sử nếu chọn ra 2 nữ K, L và chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là A, B, M, N. + Lần sau chọn 2 nữ M, N thì chọn 4 người còn lại bất kì trong 13 người còn lại là A, B, K, L Dấu hiệu học sinh sai lầm là có 1 lần chọn sau sẽ trùng với lần chọn trước với 6 người K, L, A, B, M, N. Kết luận Cách này không sử dụng được vì bị trùng lặp. Vậy Tổ hợp và chỉnh hợp rất dễ phân biệt, nếu bài toán yêu cầu tính thứ tự thì ta dùng chỉnh hợp, còn không yêu cầu thứ tự tùy ý thì ta dùng tổ hợp. Bên cạnh những bài toán có nhiều lời giải đúng là rất nhiều bài toán có nhiều sai lầm có thể mắc phải. Sau đây là 3 ví dụ và tôi đưa ra dưới dạng bài trắc nghiệm với 3 phương án sai xuất phát từ 3 sai lầm và một phương án đúng với nhiều cách giải. Ví dụ 5 Một nhóm học sinh có 5 bạn. Giáo viên cần chọn ra 3 học sinh thì có số cách chọn là B. .. C. . D.. Lời giải 1 Mỗi cách chọn 3 bạn nam trong 5 bạn là số tổ hợp chập 3 của 5. Số cách chọn là = 10 cách Lời giải 2 Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 1 bạn trong 4 bạn còn lại có cách Cuối cùng thì chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có cách Vậy có .. = = 60cách Lời giải 3 Đầu tiên chỉ chọn 1 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 2 bạn còn lại trong 4 bạn thì có cách Vậy có . = = 30 cách Lời giải 4 Đầu tiên chỉ chọn 2 bạn thì có cách. Tiếp theo chọn 1 bạn còn lại trong 3 bạn thì có cách Vậy có . = = 30 cách Nhận xét Mới nhìn đều thấy các lời giải tương đối hợp lý nhưng các kết quả lại khác nhau. Vậy đâu là lời giải đúng? Phân tích Lời giải 1 Tất nhiên là lời giải đúng. Vậy sai lầm là gi khiến cho các lời giải còn lại đều sai? Lời giải 2 Sai lầm là học sinh đã phân biệt thứ tự, trong khi đề bài không yêu cầu tính thứ tự. Giả sử 5 bạn tên là A, B, C, D, E. Đầu tiên chọn 1 bạn trong 5 bạn, dĩ nhiên là có 5 cách. Nếu lần đầu chọn A thì còn lại B, C, D, E, lần 2 chọn B còn lại C, D, E, lần 3 chọn C thì ta có 3 bạn là A, B, C. Nếu lần đầu chọn B thì còn lại A, C, D, E, lần 2 chọn C còn lại A, D, E, lần 3 chọn A thì ta có 3 bạn là A, B, C. . Như vậy số cách chọn ra 3 bạn A, B, C đã bị lặp. Các lời giải còn lại cũng giải thích tương tự. Vậy các lời giải 2,3,4 đã đưa yêu cầu thứ tự vào nên dẫn đến sai. Ví dụ 6 Sai lầm thường gặp- Trần Phương Một tổ có 12 học sinh nữ và 10 học sinh nam. Cần chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ để ghép thành 3 đôi để biểu diễn văn nghệ. Số cách chọn là A.. B.. . D. 3!.. Giải Lời giải 1 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là . cách Lời giải này mới chỉ chọn 6 học sinh gồm 3 nam, 3 nữ. Lời giải 2 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Vậy số cách chọn 3 đôi nam nữ là .cách Lời giải thứ hai sai lầm ở chỗ sắp thứ tự giữa các học sinh và thiếu cách ghép đôi 1 nam 1 nữ Lời giải 3 Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Số cách ghép đôi là 3!.3 Do đó số cách chọn 6 học sinh gồm 3 nam và 3 nữ ghép thành đôi là 3!.3!. . cách Có rất nhiều học sinh mắc phải sai lầm này kể cả khi đọc lời giải nghe có vẻ hợp lí. Tuy nhiên ở đây số cách ghép đôi đã bị lặp lại. Lời giải 4 Lời giải đúng Số cách chọn 3 nữ trong 12 nữ là cách Số cách chọn 3 nam trong 10 nam là cách Do đó số cách chọn 6 học sinh 3 nam, 3 nữ là . cách Trong 6 học sinh chọn ra thì có 3! cách ghép giữa các đôi nhảy với nhau là hoán vị của 3 học sinh nam hoặc 3 học sinh nữ Vậy số cách chọn thoả mãn là 3!.. cách Nếu như không đưa ra và phân tích các cách giải thì nhìn vào mỗi cách trên cách giải nào cũng có vẻ hợp lí có phương án để lựa chọn đối với câu hỏi trắc nghiệm. Đồng thời đưa ra những cách làm sai lầm chốt lại phương án đúng giúp học sinh dễ dàng nhận ra những thiếu sót, sai lầm mắc phải từ đó các em sẽ ghi nhớ tốt. Ví dụ 7 Lớp 11A2 Trường THPT Vĩnh Lộc có 44 học sinh. Cần bầu một ban cán sự gồm 1 lớp trưởng, 1 lớp phó và 2 ủy viên. Số cách lập ra ban cán sự là A. B. C. D. Sai lầm thường gặp Sai lầm 1 Học sinh hiểu đơn giản chọn 4 bạn từ 44 bạn nên số cách lập ra ban cán sự gồm 4 người Sai lầm 2 Chọn lớp trưởng có , chọn một lớp phó có , chọn ủy viên thứ nhất có , chọn ủy viên thứ 2 có .Vậy số cách chọn theo yêu cầu là Nguyên nhân Khi chọn 1lớp trưởng, 1 lớp phó thì có thứ tự nhưng khi chọn 2 ủy viên lại không cần tứ thứ tự nên số cách chọn 2 ủy viên là hoặc Sai lầm 3 Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó có cách chọn; Chọn 2 uỷ viên trong 38 học sinh còn lại có Theo quy tắc nhân có cách. Nguyên nhân sai lầm Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự. Chẳng hạn khi đã chọn 2 học sinh A và B để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó thì có hai cách A làm lớp trưởng còn B làm lớp phó và B làm lớp trưởng còn A làm lớp phó. Nên mỗi cách chọn là một chỉnh hợp chập 2 của 40 phần tử do đó số cách chọn là = Lời giải đúng Trước tiên để định hướng cách giải cho học sinh, giáo viên cần phân tích Để chọn được một ban cán sự cần thực hiện 3 công đoạn chọn một lớp trưởng, chọn một lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Cách 1 Công đoạn 1 Chọn 1 lớp trưởng có 44 cách. Công đoạn 2 Chọn 1 lớp phó trong 43 học sinh sau khi đã chọn lớp trưởng có 43 cách. Công đoạn 3 Chọn 2 uỷ viên trong 42 học sinh còn lại 3 uỷ viên cần chọn không có thứ tự nên dùng tổ hợp có Theo quy tắc nhân có cách Cách 2 Để chọn được một ban cán sự có thể thực hiện 2 công đoạn chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng 1 làm lớp phó và chọn 2 uỷ viên. Do đó ta có lời giải Công đoạn 1 Chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là = Công đoạn 2 Chọn 2 học sinh trong 42 học sinh còn lại làm uỷ viên, cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là . Vậy số cách chọn ban đại diện lớp là. cách. Cách 3 Để chọn được một ban cán sự cũng có thể thực hiện 2 công đoạn. Trước tiên chọn cùng 1 lúc 4 học sinh sau đó rồi mới phân công chức vụ. Do đó ta có lời giải Chọn 4 học sinh để làm một ban cán sự cách chọn này không có thứ tự nên số cách chọn là cách. Với mỗi cách chọn 4 học sinh trên chọn 2 học sinh để 1 làm lớp trưởng, 1 làm lớp phó, khi đó cách chọn này có thứ tự nên số cách chọn là =12 cách, tiếp theo chọn 2 học sinh còn lại làm uỷ viên có 1 cách chọn. Theo quy tắc nhân có 1 cách. Bài tập tương tự Bài 1 Sai lầm thường gặp - Trần PhươngCần chọn từ 9 học sinh nữ và 7 học sinh nam ra 3 nam và 3 nữ để ghép thành 3 cặp nhảy nam- nữ. Hỏi có bao nhiêu cách ghép? Một học sinh đã giải như sau Số cách chọn 3 nam là cách Số cách chọn 3 nữ là cách. Số cách chọn 3 cặp nhảy là cách Học sinh đã giải sai, em hãy chỉ ra sai lầm ở đâu và giải lại cho đúng? HD Quá trình chọn 3 nam từ 7 nam và 3 nữ từ 9 nữ không cần tính đến thứ tự. Lời giải đúng là Bài viết sẽ tổng hợp lại các sai lầm các em thường gặp khi giải Toán ở một số dạng tiêu biểu. Điều này sẽ giúp các em có được kết quả học và làm các bài kiểm tra Toán tốt hơn. Sai lầm khi biện luận nghiệm của phương trình chứa ẩn ở mẫu Với các dạng bài toán giải phương trình chứa ẩn ở mẫu,các em rất dễ có nhầm lẫn khi xác định điều kiện, đặc biệt là khi đề bài yêu cầu biện luận với đề tự luận hoặc chọn đáp án đúng xác định tập nghiệm của phương trình với đề trắc nghiệm. Các em hãy theo dõi chi tiết 1 ví dụ dưới đây để hiểu hơn về sai lầm dễ mắc phải khi giải phương trình chứa ẩn ở mẫu. Đề bài Cách giải của học sinh 1 Các em hãy cho biết xem cách giải của bạn học sinh trên đã chính xác chưa? Và nếu chưa chính xác, thì hãy chỉ ra sai sót của lời giải đó. Câu trả lời là Lời giải trên chưa chính xác, vì nếu chúng ta thay giá trị m=1/2 vào phương trình của đề bài - thì giá trị m này không thuộc tập nghiệm mà học sinh trên đã kết luận. Vậy làm thế nào để có thể tìm ra được giá trị m = 1/2 làm phương trình vô nghiệm? Các em hãy theo dõi cách giải của bạn học sinh thứ 2 sau đây Tới đây bạn học sinh này của chúng ta cũng xét 2 trường hợp như học sinh 1. Xem ra lời giải không khác gì so với lời giải của bạn học sinh thứ 1 nhỉ? Chúng ta cứ xem tiếp xem có chuyện lạ gì sảy ra không vậy. Nhìn và so sánh 2 lời giải trên đây, chúng ta biết, lời giải của học sinh thứ 2 chặt chẽ và đầy đủ hơn lời giải của học sinh 1. Vì thế mới có thể tìm được đầy đủ các giá trị của m để phương trình có nghiệm và vô nghiệm. Thông thường, rất nhiều học sinh gặp phải lỗi sai giống như lời giải của học sinh 1. Các em thường quên việc sau khi tìm được nghiệm, các em phải xét điều kiện tồn tại của nghiệm xem có thỏa mãn không. Lưu ý Tuy đây là 1 dạng lời giải tự luận, nhưng các em cũng cần hết sức lưu ý. Vì nếu, không nắm được các bước giải tự luận 1 cách chặt chẽ, thì chắc chắn em cũng sẽ không thể tìm ra được đáp án trắc nghiệm đúng. Sai lầm thường gặp khi áp dụng hệ thức Viet Hệ thức Viet là nội dung các em được học trong chương trình Toán học lớp 9, tuy nhiên định lý này vẫn sẽ được áp dụng trong chương trình Toán học ở cấp 3 trong các bài tập giải phương trình. việc áp dụng hệ thức Viet không khó, tuy nhiên, các em cần biết và tránh được 2 sai lầm thường gặp dưới đây Sai lầm 1 Chưa biết phương trình bậc 2 có nghiệm hay không đã áp dụng hệ thức Viet Ví dụ Với đề bài như trên, nhiều bạn sẽ áp dụng ngay hệ thức Viet vào để giải toán vì các em mặc định rằng khi tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn hệ thức thì đương nhiên phương trình đã phải có 2 nghiệm rồi. Tuy nhiên, điều đó là không đúng. Thực tế là chúng ta sẽ không thể biết được phương trình đã có 2 nghiệm hay chưa. Do đó, việc đầu tiên các em cần làm là tìm điều kiện để phương trình có nghiệm trước khi áp dụng hệ thức vào để giải toán. Sai lầm 2 Hiểu sai về điều kiện có nghiệm của phương trình Không quá phức tạp, nhưng nhiều em rất hay nhầm điều kiện có nghiệm của phương trình hay điều kiện của Δ, và cho rằng, phương trình bậc 2 chỉ áp dụng được hệ thức Viet khi phương trình có 2 nghiệm phân biệt tức là Δ>0 Tuy nhiên, các em hãy nhớ, chỉ cần phương trình có 2 nghiệm là đủ, 2 nghiệm bằng nhau vẫn áp dụng được tức là Δ≥0 Bài viết được tổng hợp từ nhiều nguồn Bạn đang xem 20 trang mẫu của tài liệu "SKKN Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm - Tích phân và cách khắc phục", để tải tài liệu gốc về máy bạn click vào nút DOWNLOAD ở trênMỤC LỤC Trang MỤC LỤC 1. Phần mở đầu 1 2 Lý do chọn đề tài 2 Phạm vi nghiên cứu 3 Đối tượng nghiên cứu 3 Mục tiêu nghiên cứu 3 2. Phần nội dung 4 Cơ sở khoa học đề xuất SKKN 4 Thực trạng của vấn đề nghiên cứu 5 Giải pháp thực hiện 5 Nội dung cụ thể 7 Những kiến thức liên quan 7 1. Nguyên hàm 7 2. Phương pháp tính nguyên hàm 8 3. Tích phân 9 a. Định nghĩa tích phân 9 b. Tính chất của tích phân 9 c. Phương pháp tính tích phân 9 4. Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục 10 a. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm 10 b. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản 10 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục 11 Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải 11 a. Sai lầm do nhớ nhằm công thức nguyên hàm 11 b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân 12 c. Sai lầm do nhớ nhằm tính chất tích phân 13 d. Sai lầm khi đổi biến số 14 Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải 16 a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số 16 b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số 17 V. Kết quả 18 C. Kết luận và kiến nghị 20 1. Kết luận 20 2. Đề xuất và kiến nghị 20 Tài liệu tham khảo 22 Đề tài “PHÂN TÍCH CÁC SAI LẦM THƯỜNG GẶP KHI GIẢI TOÁN NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ CÁCH KHẮC PHỤC” 1. PHẦN MỞ ĐẦU Lý do chọn đề tài Toán học là môn khoa học nghiên cứu về các số, cấu trúc, không gian và các phép biến đổi. Môn Toán được chia thành nhiều phân môn nhỏ, trong đó có “NGUYÊN HÀM, TÍCH PHÂN” . Trong những năm giảng dạy khối 12 Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, bản thân tôi luôn nhận thấy và rút ra được kinh nghiệm từ các sai lầm mà học sinh thường hay mắc phải do mới học và làm quen với tích phân thường chưa hiểu rõ tư tưởng cũng như phương pháp tiếp cận lý thuyết, đặc biệt là khâu vận dụng lý thuyết vào việc giải các bài toán cụ thể. Học sinh của trường đa phần là học sinh trung bình, yếu. Có một số ít là học sinh khá, giỏi. Nên việc làm bài hay mắc sai lầm không đáng có trong giải Toán càng nhiều, nguyên nhân học sinh chưa nắm vững kiến thức, thậm chí có những em thuộc công thức nhưng vận dụng vẫn sai, đó là thực trang chung học sinh của trường, dẫn đến kết quả của các bài kiểm tra không được cao. Do đó đề tài tôi quan tâm ở đây là Nhằm giúp học sinh khối 12 của Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống nói riêng, đối tượng đa phần là trung bình, yếu và có số ít khá giỏi, giúp các em tránh những sai sót không đáng có. Trong giảng dạy tôi thường hay đưa ra các sai lầm mà học sinh các khóa trước để lưu ý cho các em biết tránh sai lầm kiểu tương tự. Đặc biệt trước và sau kiểm tra tôi luôn nhắc để học sinh lưu ý. Khi trả bài kiểm tra thường chỉ ra những sai lầm tồn đọng và cách khắc phục. Phép tính tích phân là một phần quan trọng của Giải tích nói riêng và của Toán học nói chung, không những là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của giải tích mà còn hỗ trợ đắc lực trong nghiên cứu lý thuyết về phương trình, tính diện tích, thể tích. của các hình rất phức tạp mà các phương pháp khác không giải được. Trong thực tế đa số học sinh tính tích phân một cách hết sức máy móc đó là tìm một nguyên hàm của hàm số cần tính tích phân rồi dùng định nghĩa của tích phân hoặc phương pháp đổi biến số, phương pháp tính tích phân từng phần mà rất ít học sinh để ý đến nguyên hàm của hàm số tìm được có phải là nguyên hàm của hàm số đó trên đoạn lấy tích phân hay không? Phép đặt biến mới trong phương pháp đổi biến số có nghĩa không? Phép biến đổi hàm số có tương đương không? Vì thế trong quá trình tính tích phân học sinh thường mắc những sai lầm dẫn đến lời giải sai. Với hy vọng giúp học sinh khắc phục được những nhược điểm kể trên, nắm vững kiến thức về nguyên hàm – tích phân, từ đó giúp học sinh tính tích phân dễ dàng hơn, đạt được kết quả cao khi giải toán nguyên hàm – tích phân nói riêng, đạt kết quả cao trong quá trình học tập môn Toán nói chung. Mục tiêu nghiên cứu Nhằm giúp học sinh khối 12 trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống tránh được những sai lầm thường gặp trong giải toán, để đạt được kết quả cao hơn khi học toán nguyên hàm tích phân và đạt kết quả cao trong quá trình học tập nói chung. Ý nghĩa quan trọng mà đề tài đặt ra là cũng cố về mặt kiển thức, kỷ năng giải bài toán Tích phân một cách logic. Từ đó phát huy hiệu quả kiến thức vốn có của học sinh, gây hứng thú cho các em. Đối tượng nghiên cứu Tôi cùng đồng sự của tôi nghiên cứu học sinh khối 12 trong các năm 2013-2014; năm 2014-2015; năm 2015-2016 và năm 2016-2017– Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống. Phạm vi nghiên cứu Phân tích các dạng toán về nguyên hàm, tích phân mà học sinh dễ mắc sai lầm trong quá trình giải toán trong Giải tích 12 2. PHẦN NỘI DUNG Cơ sở khoa học đề xuất SKKN Khi giảng dạy môn Toán ở Trường THPT Triệu Thị Trinh Nông Cống, tôi nhận thấy học sinh thường bế tắc hoặc mắc rất nhiều các sai lầm khi giải bài toán tính nguyên hàm – tích phân. Các lỗi giống nhau này không chỉ xảy ra ở những lớp tôi giảng dạy mà còn ở các lớp khác của đồng nghiệp. Thông qua những sai lầm, nếu ta biết cách nhìn nhận ra nó, kịp thời uốn nắn và sửa chữa nó thì sẽ giúp ta ghi nhớ lâu hơn tri thức đã được học, đồng thời sẽ giúp ta tránh được những sai lầm tương tự; bồi dưỡng thêm về mặt tư duy. Những kiến thức căn bản về nguyên hàm và tích phân là kiến thức hoàn toàn mới mẻ đối với học sinh nhưng sự hình thành ít nhiều liên quan đến kiến thức về đạo hàm, các em có thể dựa vào các công thức đạo hàm để hình thành công thức nguyên hàm, tuy nhiên đa phần các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này. Những em có lực học trung bình, yếu kém đều bị mắc sai lầm hoặc không giải được phần kiến thức này do đó dù các em có nắm được kiến thức căn bản của nguyên hàm tích phân thì cũng sẽ bế tắc khi thực hiện lời giải. Còn với đa phần các em có học lực khá, giỏi tâm lí chung khi gặp một bài toán là nóng vội lao vào tìm phương pháp giải, tìm ra phương pháp rồi thì vội vàng trình bày lời giải, tìm ra đáp số, thấy kết quả gọn, đẹp là yên tâm mà quên mất các thao tác quen thuộc phân tích đề, kiểm tra các điều kiện, kiểm tra các phép tínhVì vậy những sai sót xảy ra là điều tất yếu. Kinh nghiệm cũng cho thấy việc phát hiện ra lỗi sai của người khác thì dễ còn việc phát hiện ra lỗi sai của chính mình là rất khó. Trong quá trình dạy về phần kiến thức này, tôi cho các em chủ động tự làm theo lối tư duy logic của riêng mình, để các em theo dõi nhận xét lời giải của nhau từ đó phát hiện những lỗi sai và từ đó phân tích để các em hiểu được bản chất của vấn đề khắc phục sai sót và tổng kết thành kinh nghiệm. Tuy nhiên, nếu cứ lúc nào cũng chỉ ra những sai lầm của học sinh dễ khiến các em thấy nhàm chán, mất đi hứng thú học tập. Vì vậy, tôi vận dụng nó linh hoạt trong các tiết dạy và có những gợi ý cần thiết hỗ trợ cho các em tìm kiếm lời giải. Một khó khăn nữa mà tôi cũng gặp trong quá trình giảng dạy trên đó là việc dạy học phân hóa theo từng đối tượng học sinh. Ở các lớp mà tôi nhận nhiệm vụ giảng dạy, học sinh trung bình, yếu, kém là đa số, còn lại là một bộ phận ít học sinh khá, giỏi. Nên các giáo án, các ví dụ và bài tập của tôi cũng phải phân hướng vào hai loại đối tượng học sinh, trước tiên là ưu tiên các em diện trung bình và yếu sau đó nâng cao lên những bài toán mở rộng với tính chất hướng dẫn, giới thiệu. Thêm nữa, với vai trò là môn học nòng cốt, môn Toán được nhà trường xếp thêm mỗi tuần 01 tiết học tự chọn, với nội dung học tự chọn bám sát chương trình vì vậy tôi có cơ hội để thực hiện đề tài này. Thực trạng của vấn đề nghiên cứu Phân tích các sai lầm thường gặp khi giải toán nguyên hàm, tích phân và cách khắc phục a. Những lỗi đơn giản mà học sinh vẫn thường mắc phải như - Không nắm vững định nghĩa nguyên hàm, tích phân; - Tính nguyên hàm sai, hiểu sai bản chất công thức; - Đổi biến số nhưng không đổi cận; - Khi đổi biến không tính vi phân; - Giải sai hoặc tính toán nhầm do kỹ năng tính toán chưa thuần thục. b. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải như - Hàm số không liên tục nhưng vẫn sử dụng công thức Newtơn- Leibnitz; - Đổi biến số t = ux nhưng ux không phải là một hàm số liên tục và có đạo hàm liên tục trên [a; b]; - Không nắm vững phương pháp đổi biến số; - Chọn cách đổi biến số nhưng gặp khó khăn khi đổi cận không tìm được giá trị chính xác; - Không nắm vững phương pháp nguyên hàm tích phân từng phần. 3. Giải pháp thực hiện Để khắc phục những khó khăn mà học sinh thường gặp phải, tôi đã thực hiện một số giải pháp như sau Bổ sung, hệ thống những kiến thức cơ bản mà học sinh thiếu hụt - Phân tích, mổ xẻ các khái niệm, định nghĩa, định lí để học sinh nắm được bản chất của các khái niệm, định nghĩa, định lí đó; - Đưa ra các ví dụ, phản ví dụ minh họa cho các khái niệm, định nghĩa, định lí; - So sánh giữa các khái niệm, các quy tắc để học sinh thấy được sự giống và khác nhau giữa chúng; - Chỉ ra các sai lầm mà học sinh dễ mắc phải. Rèn luyện cho học sinh về mặt tư duy, kĩ năng, phương pháp và cách khắc phục. - Thao tác tư duy phân tích, so sánh, lô gic...; - Kỹ năng lập luận vấn đề, chọn phương án phù hợp để giải quyết vấn đề. - Phương pháp phương pháp giải toán nguyên hàm, tích phân cơ bản. - Cách khắc phục Học sinh phải thuộc, hiểu công thức, định nghĩa, tính chất nguyên hàm và tích phân. Đổi mới phương pháp dạy học lấy học sinh làm trung tâm - Sử dụng phương pháp dạy học phù hợp với đối tượng người học - Tạo hứng thú, đam mê, yêu thích môn học cho học sinh; - Sử dụng phương tiện dạy học, thiết bị dạy học nhằm làm cho bài giảng sinh động hơn, bớt khô khan và học sinh không cảm thấy nhàm chán. Chẳng hạn sử dụng phiếu học tập, nếu có điều kiện thì sử dụng giáo án điện tử kết hợp với việc trình chiếu để học sinh thấy được hình động liên quan trực tiếp tới bài giảng. ví dụ như ứng dụng của tích phân để tính diện tích hình thang cong, diện tích hình phẳng, thể tích khối tròn xoay. Đề kiểm tra theo chuẩn kiến thức kỷ năng môn học đảm bảo được các mức dộ như - Ra đề kiểm tra với 6 mức độ nhận thức nhận biết – thông hiểu – vận dụng – phân tích – tổng hợp – đánh giá; - Giáo viên đánh giá học sinh; - Học sinh đánh giá học sinh. Giáo viên có phương pháp dạy học, hình thức dạy học sao cho phù hợp với từng loại đối tượng học sinh, chỉ ra cho học sinh những sai lầm thường mắc phải khi giải các bài toán về nguyên hàm, tích phân. Hướng dẫn cho học sinh tự học, tự làm bài tập. Phân dạng bài tập và phương pháp giải - Hệ thống kiến thức cơ bản; - Phân dạng bài tập và phương pháp giải; - Đưa ra các bài tập tương tự. - Sau mỗi lời giải cần có nhận xét, củng cố và phát triển bài toán, suy ra kết quả mới, bài toán mới. Như vậy học sinh sẽ có tư duy linh hoạt và sáng tạo. 4. Nội dung cụ thể Những kiến thức liên quan Nguyên hàm a. Định nghĩa Cho hàm số fx xác định trên K K là khoảng, đoạn hay nửa khoảng. Hàm số Fx được gọi là nguyên hàm của hàm số fx trên K nếu với mọi x thuộc K. b. Định lí * Nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì với mỗi hằng số C, hàm số Gx = Fx +C cũng là một nguyên hàm của fx trên K. * Ngược lại, nếu Fx là một nguyên hàm của hàm số fx trên K thì mọi nguyên hàm của fx trên K đều có dạng Fx+C với C là một hằng số. Kí hiệu họ nguyên hàm của fx là . Khi đó C hằng số c. Tính chất của nguyên hàm Tính chất 1 Tính chất 2 k là hằng số khác 0 Tính chất 3 d. Sự tồn tại của nguyên hàm Định lí Mọi hàm số fx liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K Bảng công thức tính nguyên hàm của một số hàm thường gặp Phương pháp tính nguyên hàm a. Phương pháp đổi biến số Định lí Nếu và là hàm số có đạo hàm liên tục thì b. Phương pháp nguyên hàm từng phần Định lí Nếu hai hàm số và có đạo hàm liên tục trên K thì Hay viết gọn là Tích phân a. Định nghĩa tích phân Cho fx là hàm số liên tục trên đoạn [a ; b]. Giả sử Fx là một nguyên hàm của fx trên đoạn [a ; b]. Hiệu số Fb − Fa được gọi là tích phân từ a đến b hay tích phân xác định trên đoạn [a ; b] của hàm số fx, kí hiệu là Khi đó Công thức Newton – Leibnitz b. Tính chất của tích phân Tính chất 1 k là hằng số Tính chất 2 Tính chất 3 với c. Phương pháp tính tích phân * Phương pháp đổi biến số Cho hàm số liên tục trên . Giả sử hàm số có đạm hàm liên tục trên sao cho , và với mọi Khi đó * Phương pháp tích phân từng phần Từ phương pháp tính nguyên hàm từng phần, ta có định lí sau đây Định lý Nếu và là hai hàm số có đạo hàm liên tục trên thì Hay viết gọn là Những sai lầm của học sinh khi tính nguyên hàm và cách khắc phục a. Sai lầm khi vận dụng bảng nguyên hàm cơ bản Ví dụ 1. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng công thức với ≠ – 1 thay vì công thức với ≠ – 1 * Lời giải đúng Hoặc cách giải khác Đặt => Thay u=3x+1 vào ta được I= *Khắc phục Yêu cầu học sinh thuộc và hiểu để vận dụng đúng công thức b. Sai lầm khi vận dụng định nghĩa nguyên hàm Ví dụ 2. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng với C = C1 – C2. Ví dụ 3. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm . Đặt Vô lý * Phân tích Học sinh viết chung hằng số C cho mọi phép tính nguyên hàm * Lời giải đúng Đặt u= cosx => du= -sinxdx =>sinxdx=-du Thay u= cosx vào ta được Ví dụ 4. Tính nguyên hàm * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Các em nhầm kiến thức nguyên hàm và đạo hàm, rất em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này . * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh học thuộc công thức nguyên hàm của sinx và cosx. Để phân biệt sự khác nhau giữa đạo hàm và nguyên hàm của sinx và cosx. * Các bài tập tương tự a b c d 5. Những sai lầm của học sinh khi tính tích phân và cách khắc phục Những lỗi đơn giản mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do nhớ nhầm công thức nguyên hàm Ví dụ 5. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Sự hình thành nguyên hàm ít nhiều cũng liên quan đến kiến thức đạo hàm, các em hay nhầm lẫn giữa hai loại công thức này * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Lời giải đúng Ví dụ 6. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh vận dụng sai công thức nguyên hàm của hàm hợp, đã dùng thay vì * Lời giải đúng Có thể hướng dẫn các em giải cách khác Đặt * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản và nguyên hàm hàm hợp tương ứng, tự lặp ra bảng nguyên hàm của hàm hợp tưng ứng với . Giúp các em khắc sâu thói quen kiểm tra công thức lấy đạo hàm của nguyên hàm tìm được xem có bằng hàm số đã cho? * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e b. Sai lầm do không vận dụng đúng định nghĩa tích phân Ví dụ 7. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm không xác định tại * Lời giải đúng Hàm số không xác định tại suy ra hàm không liên tục trên , nên không sử dụng được công thức Newton – Leinbitz như cách giải trên * Cách khắc phục Yêu cầu các em nhớ định nghĩa tích phân. Giúp các em tạo thói quen Khi tính cần chú ý kiểm tra xem hàm số y = fx có liên tục trên đoạn [a, b] không? Nếu có thì áp dụng các phương pháp được học để tính tích phân đã cho, còn nếu không thì kết luận ngay tích phân đó không tồn tại. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c c. Sai lầm do nhớ nhầm tính chất tích phân Ví dụ 8. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh tự “sáng tạo” ra quy tắc nguyên hàm của một tích thay vì sử dụng công thức tích phân từng phần * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các tính chất của nguyên hàm và tích phân. Giúp các em tổng quát hoá các dạng toán sử dụng phương pháp tích phân từng phần Cách làm Biểu diễn về dạng - Chọn u sao cho du dễ tính - Chọn dv sao cho dễ tính - Lưu ý cho học sinh dựa vào công thức nguyên hàm từng phần sau u Px Px Px lnx dv Pxdx * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d. Sai lầm khi đổi biến số Ví dụ 9. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt . Ví dụ 10. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Nhớ công thức không rõ ràng dẫn đến hiểu nhầm, cũng khá nhiều em quyên không ghi dx vào * Lời giải đúng Đặt Ví dụ 11. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt x = sint dx = costdt * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh đổi biến nhưng không đổi cận * Lời giải đúng Đặt x = sint dx = Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em thực hiện từng tự cách bước tính tích phân theo phương pháp đổi biến số đổi biến và đổi cận. Khi gặp tích phân dạng , nếu tích phân tồn tại thì thông thường ta tính tích phân bằng cách đặt x = hoặc x = đổi cận, chuyển về tính tích phân theo t Ví dụ 12. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt t = 2x + 1 Đổi cận * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi thực hiện đổi biến số học sinh đã quên không tính vi phân dt * Lời giải đúng Đặt ; Đổi cận * Cách khắc phục Yêu cầu các em học thuộc các bước thực hiện phương pháp đổi biến số. Giúp các em tạo thói quen kiểm tra lại bài làm, kiểm tra kết quả bằng phép tính gần đúng trên máy tính bỏ túi * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b c d e f Trên đây là một số sai lầm điển hình của học sinh mắc phải khi tính tích phân, những sai lầm đơn giản này phần lớn rơi vào trường hợp những em có học lực trung bình trở xuống hoặc những em học khá nhưng mắc phải tính cẩu thả. Đôi khi cũng gặp phải ở tình huống các em bị áp lực tâm lí khi làm bài dẫn tới trạng thái không kiểm soát nổi hành vi của bản thân. Trong nhóm những sai lầm dạng này còn một số kiểu lỗi khác về tính toán và trình bày như tính toán sai, viết thiếu kí hiệu vi phân trong biểu thức tích phân, viết cả 2 biến trong cùng một biểu thức tích phânĐể khắc phục những sai lầm đó, ngoài những biện pháp đã nêu, người giáo viên cần giúp các em học sinh rèn luyện các đức tính cẩn thận, tỉ mỉ, kiên trì và đặc biệt là khắc phục những điểm yếu tâm lí khi làm bài. Những lỗi do biến đổi mà học sinh thường mắc phải a. Sai lầm do thực hiện sai phép biến đổi đại số Ví dụ 13. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Học sinh sử dụng phép biến đổi sai với thay vì dùng với * Lời giải đúng * Cách khắc phục Yêu cầu các em lưu ý khi gặp tích phân hàm vô tỉ chứa hàm số dạng thì dùng phép biến đổi n ≥ 1, n nguyên. Khi đó ta phải xét dấu hàm số fx trên đoạn [a, b] rồi dùng tính chất tách cận, phân tích thành tổng các tích phân để khử bỏ dấu giá trị tuyệt đối * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b b. Sai lầm khi thực hiện đổi biến số Ví dụ 14. Tính tích phân * Lời giải có sai lầm Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. * Nguyên nhân dẫn đến sai lầm Khi sử dụng công thức thay vì công thức * Lời giải đúng Đặt u = cosx du = -sinxdx. u0 = 1, u = 0. = Hoặc cách khác Đặt u = cos2x => du=-2sinxcosxdx=-sin2xdx u0 = 1, u = 0. * Các bài tập tương tự Tính các tích phân sau a b * Cách khắc phục Yêu cầu học sinh hiểu và vận dụng đúng công thức, tránh chủ quan, nóng vội. Trên đây là một số sai lầm mà học sinh mắc phải khi tính tích phân, đó là những sai lầm khó phát hiện đối với các em học sinh. Những sai lầm này phần lớn xuất phát từ sự thiếu chắc chắn về kiến thức cộng với thói quen làm bài thường gặp những “tình huống thuận lợi” dẫn tới tư tưởng chủ quan, nóng vội, cẩu thả. Đôi

những sai lầm thường gặp khi giải toán thpt